在平面几何中，垂心定理是一个重要的结论，它揭示了三角形的垂心与顶点之间的关系。本文将通过构造一个圆、利用平行四边形的性质以及中位线的特性来给出一种新颖且直观的证明方法。

首先，我们设△ABC为任意非直角三角形，并记其三个高分别为AD、BE和CF，其中D、E、F分别是BC、AC、AB边上的垂足。根据定义，H是这三条高的交点，即垂心。

接下来，我们将以△ABC的一个顶点A为中心作一个半径足够大的圆O，使得该圆包含整个三角形。显然，直线AD作为从A出发的一条高必然与圆相交于另一点P（不同于A）。由于AP是直径，所以∠BPC=90°。

现在考虑四边形PBEC，因为PE⊥BC且CE⊥PB，因此PBEC是一个矩形。进一步地，由于矩形对边平行且相等，我们可以得到PE=BC/2。类似地，对于四边形PAFD也有AF=PD=AC/2。

再来看中位线MN，其中M、N分别是AB和AC的中点，则MN//BC且MN=BC/2。结合前面所得出的结果，可知MN与PE重合。由此可得，H位于MN上，即H是△ABC的重心、内心及垂心三者共线的位置。

最后，为了验证垂心到某一顶点的距离，不妨取点H到A的距离HA为例。注意到AH实际上就是从A向MN所作的垂线段长度，而MN又是△ABC的中位线，故有HA=rsin(α)，其中r表示圆O的半径，α为∠BAC的角度。

综上所述，借助圆、平行四边形及中位线的相关知识，我们成功证明了垂心定理，并且明确了垂心到三角形任一顶点的具体距离表达式。这种方法不仅逻辑严谨，而且操作性强，非常适合用于教学或研究之中。