【平行向量公式】在向量运算中，平行向量是一个重要的概念。两个向量如果方向相同或相反，则称它们为平行向量。判断两个向量是否平行，可以通过向量之间的比例关系来判断。以下是对平行向量公式的总结与说明。
一、平行向量的定义
若向量 a 和向量 b 满足：
存在一个实数 k，使得 a = k·b，则称 a 与 b 平行。
- 当 k > 0 时，两向量方向相同；
- 当 k < 0 时，两向量方向相反；
- 当 k = 0 时，向量为零向量，与任何向量都平行。
二、平行向量的判定方法
1. 坐标比值法
若向量 a = (x₁, y₁)，向量 b = (x₂, y₂)，则当且仅当
$$
\frac{x₁}{x₂} = \frac{y₁}{y₂}
$$
（假设 x₂ ≠ 0, y₂ ≠ 0）时，两向量平行。
2. 向量叉积法
在二维空间中，向量 a × b = x₁y₂ - x₂y₁。
若 a × b = 0，则 a 与 b 平行。
3. 线性表示法
若 a = k·b，则 a 与 b 平行。
三、常见平行向量公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 向量比例关系 | a = k·b | 存在实数 k 使两向量成比例 |
| 坐标比值法 | $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$ | 用于二维向量判断平行 |
| 叉积判别法 | a × b = 0 | 二维向量叉积为零即平行 |
| 线性组合法 | a = λb + μc（若 c 与 a、b 共面） | 用于三维空间中的平行判断 |
四、应用举例
例 1：
已知向量 a = (2, 4)，b = (1, 2)，判断是否平行。
解：
$$
\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = 2
$$
所以 a 与 b 平行。
例 2：
已知向量 a = (3, 6, 9)，b = (1, 2, 3)，判断是否平行。
解：
$$
a = 3b \Rightarrow \text{平行}
$$
五、注意事项
- 零向量与任何向量都平行，但不具有方向性。
- 平行向量可以是同向或反向，但不能说“垂直”。
- 在三维空间中，判断两向量是否平行，除了使用叉积外，还可以通过方向余弦进行判断。
通过以上公式和方法，可以准确判断两个向量是否平行，并应用于几何、物理及工程等实际问题中。掌握这些内容有助于提升对向量的理解和运用能力。
