数据结构背包问题 | 动态规划解决经典优化难题

背包问题是经典的计算机科学与数据结构中的优化问题之一，其核心在于如何在有限的容量下选择物品以实现最大价值。这一问题广泛应用于资源分配、物流运输和投资组合等领域。动态规划是解决该问题的核心方法，通过将大问题分解为小问题并存储中间结果，有效避免了重复计算。

首先，定义状态转移方程是解决问题的关键。设`dp[i][w]`表示前`i`个物品放入容量为`w`的背包所能获得的最大价值，则状态转移方程为：`dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-w_i] + v_i)`，其中`w_i`和`v_i`分别为第`i`个物品的重量和价值。初始条件为`dp[0][w] = 0`（没有物品时价值为零）。

其次，使用二维数组或一维滚动数组实现算法。一维数组优化后的时间复杂度仍为`O(nW)`，空间复杂度降至`O(W)`，极大提升了效率。最后，通过回溯法可以确定具体选择了哪些物品。

总之，背包问题不仅考验算法设计能力，还体现了动态规划思想的实际应用价值。