【等比数列和等差数列所有公式】在数学中，等差数列与等比数列是两个非常重要的数列类型。它们在数列、级数、函数以及实际问题中都有广泛应用。为了帮助大家更好地理解和掌握这两个数列的相关公式，以下将对等差数列和等比数列的所有常用公式进行系统总结，并以表格形式清晰展示。
一、等差数列（Arithmetic Sequence）
等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差为一个常数的数列。这个常数称为公差，记作 d。
常用公式：
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_1 $ 为第一项，$ d $ 为公差 |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 计算前n项的总和 |
| 中间项公式 | $ a_k = \frac{a_1 + a_n}{2} $ | 当n为奇数时，中间项为平均值 |
| 通项公式推导 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | 可用于求任意项 |
二、等比数列（Geometric Sequence）
等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比为一个常数的数列。这个常数称为公比，记作 r。
常用公式：
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $ a_1 $ 为第一项，$ r $ 为公比 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | 计算前n项的总和 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $（当 $ | r | < 1 $） | 当公比绝对值小于1时，无限项的和收敛 |
| 通项公式推导 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | 可用于求任意项 |
三、对比总结表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 | ||
| 定义 | 每项与前一项的差为定值 | 每项与前一项的比为定值 | ||
| 公差 | $ d $ | $ r $ | ||
| 第n项 | $ a_1 + (n - 1)d $ | $ a_1 \cdot r^{n-1} $ | ||
| 前n项和 | $ \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） | ||
| 无穷项和 | 不适用（除非为0） | $ \frac{a_1}{1 - r} $（当 $ | r | < 1 $） |
| 应用场景 | 均匀变化的问题 | 指数增长或衰减的问题 |
四、小结
等差数列和等比数列是数列中的基本模型，理解它们的公式有助于解决许多实际问题，如利息计算、人口增长、物理运动等。通过掌握这些公式，可以更高效地分析和预测数列的变化趋势。
建议在学习过程中多做练习题，结合图形和实际例子加深理解，同时注意区分两种数列的不同性质和应用场景。
