零点定理证明题（零点定理证明）

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1、首先需要知道单调有界收敛准则：若递增数列有上界，即存在数M使xn<M衡成立，则limxn(n-->无穷)存在且极限值不大于M零点定理的证明：二分法（我记得老版本的上海高中数学教材在估算方程的根时有过星号的一小节对此作过介绍）不妨设fa<0,fb>0 将[a,b]二等分。

2、中点为(a+b)/2若满足f((a+b)/2)=0,零点定理就成立了若不是这样，[a,b]中必定有一个区间 其两端出的函数值为异号设这个区间[a1,b1]应有fa1<0,fb1>0这样就完成了一次的二分法工作这样持续下去可能有两种情况：一，某次二分法工作中存在f(an+bn/2)=0,那么零点定理成立二。

3、有限次（n次）工作后都找不零点，得到的结果为[an,bn]中有：1〉，f(an)<0<f(bn), 2>, [a(n+1),b(n+1)]属于[an,bn]且由于每次二分法的工作都回舍去一半的区间而留下一半的区间因此可以确定该区间的大小范围是bn-an=(b-a)/2^n因此显然有：a1=<a2=<a.......=<an....=<bn=<b(n-1)=<......b1根据单调收敛椎则容易推得：当n趋向于无穷时。

4、lim(an)=lim(bn)=x属于[a,b]也就是说x是两个数列的收敛点下面证明这个收敛点是一个零点：由于函数连续而且lim(an)(n-->无穷)=x因此f(x)=lim(f(an))(n-->无穷)=<0 (这是因为前面做二份工作时f(an)<0)同理f(x)=lim(f(bn))(n-->无穷)>=0 于是fx=0因此x是一个零点而且x属于[a,b]证毕。

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