反函数性质g(f(x))（反函数）

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1、反函数　　一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x）。则y=f（x）的反函数为y=f（x）^-1。

2、　　存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)

3、　　【反函数的性质】

4、　　（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；

5、　　（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

6、　　（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

7、　　（4）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。关于y轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

8、　　(5)一切隐函数具有反函数；

9、　　(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

10、　　（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。

11、　　（8）反函数是相互的

12、　　（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）

13、　　(10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）

14、　　例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5

15、　　y=2^x的反函数是y=log2 x

16、　　例题：求函数3x-2的反函数

17、　　解：y=3x-2的定义域为R，值域为R.

18、　　由y=3x-2解得

19、　　x=1/3(y+2)

20、　　将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是

21、　　y=1/3(x+2) [编辑本段]⒈ 反函数的定义　　一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

22、　　说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式.

23、　　⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数.

24、　　⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域（如下表）：

25、　　函数y=f(x)

26、　　反函数y=f^-1(x)

27、　　定义域

28、　　A C

29、　　值 域

30、　　C A

31、　　⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：

32、　　若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

33、　　开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f^-1(x)=x/2-

34、　　有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X，需将X进行分类讨论：在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a

35、　　反函数的应用：

36、　　直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

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